V Benátkách 16. století byly vzorce pro řešení rovnic přísně střeženým duševním vlastnictvím. Pro odborníka na balistiku a opevnění Niccola Tartagliu byly zvláště zajímavé kvadratické a kubické rovnice, které mimo jiné modelují chování střel za letu. Možná vám to něco říká ze školní matematiky – kvadratické rovnice mají člen x2 a kubické člen x3. Tartaglia a další matematici si všimli, že některá řešení vyžadují odmocniny ze záporných čísel, a v tom spočívá problém. Záporná čísla nemají odmocniny – neexistuje číslo, které by po vynásobení sebou samým dávalo záporné číslo. Je to proto, že záporná čísla, když se vynásobí dohromady, dávají kladný výsledek: -2 × -2 = 4 (nikoliv -4).
Tartaglia a jeho konkurent Gerolamo Cardano si všimli, že pokud ve svých výpočtech připustí záporné odmocniny, mohou stále dávat platné číselné odpovědi (Reálná čísla, jak jim matematici říkají). Tartaglia to poznal na vlastní kůži, když byl v roce 1530 poražen jedním z Cardanových studentů v měsíc trvajícím souboji při řešení rovnic.
- Pět podivných faktů o matematice
- Může matematika porazit terorismus?
Matematikové používají i k vyjádření odmocniny z minus jedné. Říká se jí imaginární jednotka – není to reálné číslo, v „reálném“ životě neexistuje. Můžeme ji však použít k nalezení odmocnin ze záporných čísel. Pokud chci vypočítat odmocniny čísla -4, mohu říci, že -4 = 4 × -1. To znamená, že odmocnina ze -4 je odmocnina ze 4 vynásobená odmocninou z -1. V symbolech:
√-4= √4×√-1
Odmocnina ze 4 je 2 a odmocnina z -1 je i, což nám dává odpověď, že odmocnina ze -4 je 2i. Měli bychom také poznamenat, že -2 je také odmocninou ze 4 z výše uvedených důvodů. To znamená, že odmocniny z -4 jsou 2i a -2i.
Sama aritmetika i zpočátku představovala pro matematiky překážku. Výše jsem uvedl, že zápor krát zápor dává klad a nám je vrozená představa, že klad krát klad dává klad. Zdá se, že s imaginární jednotkou se to hroutí, protože dva kladné se násobí a dávají zápor:
i × i = i2 = -1
Stejně tak se zde dva záporné násobí a dávají zápor:
-i × -i = i2 = -1
To byl po nějakou dobu problém a někteří lidé měli pocit, že jejich používání ve formální matematice není rigorózní. Rafael Bombelli, další italský renesanční muž, napsal v roce 1572 knihu nazvanou jednoduše Algebra, kde se snažil vysvětlit matematiku lidem bez vysokoškolských znalostí, čímž se stal raným průkopníkem vzdělávání. V Algebře vysvětluje, jak provádět aritmetiku s kladnými, zápornými a imaginárními čísly, přičemž uvádí, že imaginární jednotka (i se jako symbol používalo až v 18. století) není ani kladná, ani záporná, a tudíž se neřídí obvyklými pravidly aritmetiky.
Práce těchto matematiků o imaginárních číslech umožnila vytvořit to, co se dnes nazývá základní věta algebry. Zjednodušeně řečeno, počet řešení rovnice je vždy roven nejvyšší mocnině neznámé v rovnici. Například když jsem výše řešil odmocniny z čísla -4, řešil jsem rovnici x2= -4. Nejvyšší (a jediná) mocnina neznámé x v rovnici je dvě, a ejhle, našli jsme dvě odpovědi, 2i a -2i.
Při kubické rovnici, kde je nejvyšší mocnina tři, bych měl dostat tři řešení. Podívejme se na x3 + 4x = 0, což je stejný tvar kubické rovnice, kterým se zabýval Tartaglia. x = 0 je řešení, protože 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, čímž je rovnice splněna. Ale co další dvě řešení, která od kubické rovnice očekáváme?“
No, reálná řešení rovnice už neexistují, ale imaginární ano. Ve skutečnosti jsou 2i a -2i také řešeními této rovnice, což nám dává celkem tři řešení.
Poslechněte si díly Science Focus Podcast o matematice:
- Jak je to s algoritmy? – Hannah Fry
- Co se stane, když se matematika strašně, ale strašně nepovede? – Matt Parker
Základní větu algebry rigorózně dokázal až několik set let po Bombellim pařížský knihkupec Jean-Robert Argand v roce 1806. Argand byl také průkopníkem v propojení imaginárních čísel s geometrií prostřednictvím pojmu komplexních čísel.
Komplexní čísla jsou čísla s reálnou a imaginární částí. Například 4 + 2i je komplexní číslo s reálnou částí rovnou 4 a imaginární částí rovnou 2i. Ukazuje se, že reálná i imaginární čísla jsou také komplexní čísla. Například 17 je komplexní číslo s reálnou částí rovnou 17 a imaginární částí rovnou nule a i je komplexní číslo s reálnou částí rovnou nule.
Jiný Francouz, Abraham de Moivre, jako jeden z prvních propojil komplexní čísla s geometrií svou větou z roku 1707, která spojovala komplexní čísla a trigonometrii. Argand pak vyvinul Argandovy diagramy, které se podobají normálnímu grafu s osami x a y, jenže jeho osami jsou reálná a imaginární čísla. Tyto průlomové objevy umožnily řešit složité algebraické problémy pomocí geometrie.
Stejně jako mnoho dalších objevů v matematice mělo to vše až do moderní elektronické éry čistě akademický význam. Ukázalo se, že komplexní čísla jsou neuvěřitelně užitečná při analýze všeho, co přichází ve vlnách, například elektromagnetického záření, které používáme v rádiích a wifi, zvukových signálů pro hudební a hlasovou komunikaci a zdrojů střídavého proudu. Stejně tak kvantová fyzika redukuje všechny částice na vlnové formy, což znamená, že komplexní čísla mají zásadní význam pro pochopení tohoto zvláštního světa, který nám umožnil využívat moderní počítače, optická vlákna, GPS, zobrazování magnetickou rezonancí a mnoho dalších. Díky bohu, že se matematici před 500 lety až do dnešních dnů rozhodli, že imaginární čísla přece jen stojí za zkoumání.
Sledujte Science Focus na Twitteru, Facebooku, Instagramu a Flipboardu
.