Můžeme použít permutace a kombinace, které nám pomohou odpovědět na složitější pravděpodobnostní otázky
Příklad 1
Vybrán je čtyřmístný PIN. Jaká je pravděpodobnost, že se nebudou opakovat žádné číslice?
Pro každou číslici PINu existuje 10 možných hodnot (konkrétně: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), takže existuje 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 celkových možných PINů.
Aby se číslice neopakovaly, musely by být všechny čtyři číslice různé, což je výběr bez náhrady. Mohli bychom buď vypočítat 10 × 9 × 8 × 7, nebo si všimnout, že je to stejné jako permutace
10P4 = 5040.
Pravděpodobnost, že se číslice nebudou opakovat, je počet čtyřmístných PINů bez opakujících se číslic dělený celkovým počtem čtyřmístných PINů. Tato pravděpodobnost je
\displaystyle\frac{{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{{{10}^{{4}}}}=\frac{{5040}}{{10000}}={0,504}
Příklad 2
V jisté státní loterii je do stroje vloženo 48 míčků s čísly 1 až 48 a šest z nich je náhodně vylosováno. Pokud se šest vylosovaných čísel shoduje s čísly, která si hráč vybral, vyhrává 1 000 000 dolarů. V této loterii nezáleží na pořadí, v jakém jsou čísla vylosována. Vypočítejte pravděpodobnost, že vyhrajete výhru milion dolarů, pokud si zakoupíte jeden los.
Pro výpočet pravděpodobnosti musíme spočítat celkový počet způsobů, jak může být vylosováno šest čísel, a počet způsobů, jak se šest čísel na hráčově losu může shodovat se šesti čísly vylosovanými z automatu. Protože není stanoveno, že čísla musí být v nějakém konkrétním pořadí, je počet možných výsledků losování
48C6 = 12 271 512. Z těchto možných výsledků by pouze jeden odpovídal všem šesti číslům na tiketu hráče, takže pravděpodobnost výhry hlavní ceny je:
\displaystyle\frac{{{}_{{6}}{C}_{{6}}}}{{{{}_{{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{{1}}{{12271512}}\aprox={0.0000000815}
Příklad 3
Ve státní loterii z předchozího příkladu, pokud se pět ze šesti vylosovaných čísel shoduje s čísly, která si hráč vybral, vyhrává hráč druhou cenu ve výši 1 000 USD. Vypočítejte pravděpodobnost, že vyhrajete druhou cenu, pokud si zakoupíte jeden los.
Jak je uvedeno výše, počet možných výsledků losování je
48C6 = 12 271 512. V případě, že si zakoupíte jeden los, je počet možných výsledků losování stejný. Abychom vyhráli druhou cenu, musí se pět ze šesti čísel na tiketu shodovat s pěti ze šesti vylosovaných čísel; jinými slovy, museli jsme zvolit pět ze šesti vylosovaných čísel a jedno ze 42 vylosovaných čísel. Počet způsobů, jak vybrat 5 ze 6 vylosovaných čísel, je dán vztahem 6C5 = 6 a počet způsobů, jak vybrat 1 ze 42 poražených čísel, je dán vztahem 42C1 = 42. Počet příznivých výsledků je tedy dán základním pravidlem počítání: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Pravděpodobnost výhry druhé ceny je tedy
\displaystyle\frac{{{\levá({}_{{6}}{C}_{{5}}\pravá)}{\levá({}_{{42}}{C}_{{1}}}pravá)}}}{{{{}_{{48}}{C}_{{{6}}}}=\frac{{252}}{{12271512}}}\aprox{0.0000205}
Vyzkoušejte si to nyní 1
Výběrová otázka v ekonomickém kvízu obsahuje 10 otázek, z nichž každá má pět možných odpovědí. Vypočítejte pravděpodobnost náhodného uhodnutí odpovědí a správného zodpovězení přesně 9 otázek.
Příklad 4
Vypočítejte pravděpodobnost náhodného vytažení pěti karet z balíčku a získání přesně jednoho esa.
V mnoha karetních hrách (například pokeru) není pořadí, v jakém jsou karty vytaženy, důležité (protože hráč může karty v ruce libovolně přeskládat); v následujících úlohách budeme předpokládat, že tomu tak je, pokud není uvedeno jinak. K výpočtu možného počtu kombinací pěti karet tedy použijeme kombinace,
52C5. Toto číslo půjde do jmenovatele našeho vzorce pro výpočet pravděpodobnosti, protože je to počet možných výsledků.
Pro čitatele potřebujeme počet způsobů, jak si z balíčku vyložit jedno eso a čtyři další karty (žádné z nich eso). Protože esa jsou čtyři a my chceme právě jedno z nich, bude
4C1 způsobů, jak vybrat jedno eso; protože es, která nejsou esa, je 48 a my chceme čtyři z nich, bude 48C4 způsobů, jak vybrat čtyři esa, která nejsou esa. Nyní použijeme základní pravidlo počítání a vypočítáme, že bude 4C1 × 48C4 způsobů, jak vybrat jedno eso a čtyři ne-esa.
Složíme-li to všechno dohromady, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Příklad 5
Vypočítejte pravděpodobnost náhodného vytažení pěti karet z balíčku a získání přesně dvou es.
Řešení je podobné předchozímu příkladu, až na to, že nyní vybíráme 2 esa ze 4 a 3 ne-esa ze 48; jmenovatel zůstává stejný:
Je užitečné si všimnout, že tyto karetní úlohy se nápadně podobají úlohám loterie, o kterých jsme hovořili dříve.
Zkuste to hned 2
Vypočítejte pravděpodobnost náhodného vytažení pěti karet z balíčku karet a získání tří es a dvou králů.
Narozeninový problém
Pozastavme se nad slavným problémem z teorie pravděpodobnosti:
Předpokládejme, že máte místnost plnou 30 lidí. Jaká je pravděpodobnost, že existuje alespoň jeden společný narozeninový den?
Uhodněte odpověď na výše uvedený problém. Byl váš odhad poměrně nízký, například kolem 10 %? To se zdá být intuitivní odpověď (snad 30/365?). Podívejme se, zda bychom měli dát na svou intuici. Začněme však jednodušším problémem:
Příklad 6
Předpokládejme, že v místnosti jsou tři lidé. Jaká je pravděpodobnost, že mezi těmito třemi lidmi je alespoň jeden společný narozeninový den?
Existuje mnoho způsobů, jak může být alespoň jeden společný narozeninový den. Naštěstí existuje i jednodušší způsob. Položíme si otázku „Jaká je alternativa k tomu, že máme alespoň jedny společné narozeniny?“. V tomto případě je alternativou to, že neexistují
žádné společné narozeniny. Jinými slovy, alternativou k „alespoň jednomu“ je nemít žádné. Jinými slovy, protože se jedná o komplementární událost,
P(alespoň jedny) = 1 – P(žádné)
Začneme tedy výpočtem pravděpodobnosti, že neexistují žádné společné narozeniny. Představme si, že jste jedním z těchto tří lidí. Vaše narozeniny mohou být jakékoliv bezkonfliktní, takže existuje 365 možností z 365 pro vaše narozeniny. Jaká je pravděpodobnost, že druhá osoba nesdílí vaše narozeniny? V roce je 365 dní (přestupné roky ignorujme) a vyjmeme-li vaše narozeniny ze sporu, existuje 364 možností, které zaručí, že s touto osobou narozeniny nesdílíte, takže pravděpodobnost, že druhá osoba nemá stejné narozeniny jako vy, je 364/365. Nyní přejdeme ke třetí osobě. Jaká je pravděpodobnost, že tato třetí osoba nemá stejné narozeniny jako vy nebo druhá osoba? Existuje 363 dní, které se nebudou shodovat s vašimi narozeninami ani s narozeninami druhé osoby, takže pravděpodobnost, že třetí osoba nesdílí narozeniny s prvními dvěma, je 363/365.
Chceme, aby druhá osoba neměla narozeniny stejné jako vy
a aby třetí osoba neměla narozeniny stejné jako první dvě osoby, proto použijeme pravidlo násobení:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
a pak odečteme od 1 a dostaneme
P(společné narozeniny) = 1 – P(bez společných narozenin) = 1 – 0,9918 = 0,0082.
To je docela malé číslo, takže možná dává smysl, že odpověď na náš původní problém bude malá. Udělejme si naši skupinu trochu větší.
Příklad 7
Předpokládejme, že v místnosti je pět lidí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi těmito pěti lidmi je alespoň jeden společný narozeninový den?
Pokračování vzoru z předchozího příkladu, by odpověď měla být
\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Všimněte si, že bychom to mohli přepsat kompaktněji jako
\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{{}_{{365}}{P}_{{5}}}}{{{365}^{{5}}}\aprox{0.0271}
což trochu usnadňuje zadávání do kalkulačky nebo počítače, a což naznačuje pěkný vzorec, když budeme dále rozšiřovat populaci naší skupiny.
Příklad 8
Předpokládejme, že v místnosti je 30 lidí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi těmito 30 lidmi je alespoň jedno společné narozeninové datum?“
Tady můžeme vypočítat
\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{30}}}}{{{365}^{{30}}}\aprox{0.706}
což nám dává překvapivý výsledek, že když jste v místnosti s 30 lidmi, je 70% pravděpodobnost, že tam budou alespoň jedny společné narozeniny!
Pokud rádi sázíte a pokud se vám podaří přesvědčit 30 lidí, aby prozradili své narozeniny, můžete vyhrát nějaké peníze, když se vsadíte s kamarádem, že kdykoli budete v místnosti s 30 a více lidmi, budou v místnosti alespoň dva lidé se stejnými narozeninami. (Samozřejmě byste se museli ujistit, že váš přítel nestudoval pravděpodobnost!). Neměli byste jistotu, že vyhrajete, ale měli byste vyhrát ve více než polovině případů.
Jedná se o jeden z mnoha výsledků teorie pravděpodobnosti, který je kontraintuitivní; to znamená, že je v rozporu s našimi instinkty. Pokud matematice stále nevěříte, můžete provést simulaci. Jen abyste nemuseli obcházet skupiny 30 lidí, někdo laskavě vyvinul applet v jazyce Java, díky kterému můžete provést počítačovou simulaci. Přejděte na tuto webovou stránku:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, a jakmile se applet načte, vyberte 30 narozenin a pak stále klikejte na tlačítka Start a Reset. Pokud budete sledovat, kolikrát se narozeniny opakují, mělo by se stát, že se narozeniny budou opakovat přibližně 7krát z každých 10 spuštění simulace.
Zkuste to teď 3
Předpokládejte, že v místnosti je 10 lidí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi těmito 10 lidmi je alespoň jeden společný narozeninový den?
- \displaystyle{P}{\left({9}\\text{ správné odpovědi}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\aprox0.0000037 šance
- \displaystyle{P}{levý(\text{tři esa a dvě Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{10}}}}{{{365}^{{10}}}}\aprox{0.117}
David Lippman, Math in Society, „Probability“, licencováno pod licencí CC BY-SA 3.0.