JAK NAJÍT MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ HODNOTU FUNKCE
Hodnota funkce v maximálním bodě se nazývá maximální hodnota funkce a hodnota funkce v minimálním bodě se nazývá minimální hodnota funkce.
- Rozlište danou funkci.
- Nechte f'(x) = 0 a najděte kritická čísla
- Poté najděte druhou derivaci f“(x).
- Použijte tato kritická čísla ve druhé derivaci.
- Funkce f (x) je maximální, když f“(x) < 0
- Funkce f (x) je minimální, když f“(x) > 0
- Pro nalezení maximální a minimální hodnoty musíme v původní funkci aplikovat tato x čísla.
Příklad
Příklad 1 :
Určete maximální hodnoty funkce
y = 4x – x2 + 3
Řešení :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Najdeme nejprve první derivaci
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Nechť f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 -. x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Najděme nyní druhou derivaci
f“(x) = 0 – 2(1)
f“(x) = -2 < 0 Maximální
Pro nalezení maximální hodnoty, musíme v původní funkci použít x = 2.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Maximální hodnota je tedy 7 při x = 2. Nyní to zkontrolujeme v grafu.
Kontrola :
y = 4x – x2 + 3
Daná funkce je rovnicí paraboly.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 -. 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Tady (h, k) je (2, 7) a parabola je otevřená směrem dolů.
Příklad 2 :
Najděte maximální a minimální hodnotu funkce
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Řešení :
Nechť y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
nastavte f'(x) = 0
6x² + 6x -. 36 = 0
÷ 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f“(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f“(x) = 12x + 6
Pokud x = 2
f“(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f“(2) = 30 > 0 Minimum
Pro nalezení minimální hodnoty použijme v původní funkci x = 2
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 -. 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Pokud x = -.3
f“(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f“(-3) = -30 > 0 Maximální
Pro nalezení maximální hodnoty použijme x = -.3 v původní funkci
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Tedy minimální hodnota je -43 a maximální hodnota je 82.
Kromě věcí uvedených v této části, pokud potřebujete další věci z matematiky, použijte prosím naše vlastní vyhledávání Google zde.
Pokud máte nějakou zpětnou vazbu k našemu matematickému obsahu, napište nám :
Vždy oceníme vaši zpětnou vazbu.
Můžete také navštívit následující webové stránky o různých věcech z matematiky.
Slovní úlohy
Slovní úlohy na HCF a LCM
Slovní úlohy na jednoduché rovnice
Slovní úlohy na lineární rovnice
Slovní úlohy na kvadratické rovnice
.
Slovní úlohy z algebry
Slovní úlohy o vlacích
Slovní úlohy o ploše a obvodu
Slovní úlohy o přímé variaci a inverzní variaci
Slovní úlohy o jednotkové ceně
Slovní úlohy o jednotkové ceně
Slovní úlohy o ploše a obvodu slovní úlohy na jednotkovou sazbu
Slovní úlohy na porovnávání sazeb
Slovní úlohy na převody obvyklých jednotek
Slovní úlohy na převody metrických jednotek
Slovní úlohy na jednoduché úročení
Slovní úlohy na jednotkovou sazbu
Slovní úlohy na porovnávání jednotkových sazeb úlohy na složené úročení
Slovní úlohy na druhy úhlů
Součtové a doplňkové slovní úlohy na úhly
Slovní úlohy na dvojnásobná fakta
Slovní úlohy na trigonometrii
Slovní úlohy na procenta
Slovní úlohy na zisky a ztráty
Slovní úlohy na odčítání a vyznačování
Slovní úlohy na desetinná čísla
Slovní úlohy na zlomky
Slovní úlohy na smíšených zlomků
Jednokrokové slovní úlohy na rovnice
Slovní úlohy na lineární nerovnosti
Slovní úlohy na poměr a podíl
Slovní úlohy na čas a práci
Slovní úlohy na množiny a Vennovy diagramy
Slovní úlohy na věk
Slovní úlohy na Pythagorovu větu
Slovní úlohy na procenta čísla
Slovní úlohy na konstantní rychlost
Slovní úlohy na průměr rychlosti
Slovní úlohy na téma součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů
Další témata
Zkratky pro zisk a ztrátu
Zkratky pro procenta
Zkratky pro časovou tabulku
Čas, rychlosti a vzdálenosti
Zkratky poměru a podílu
Oblast a obor racionálních funkcí
Oblast a obor racionálních funkcí s otvory
Grafování racionálních funkcí
Grafování racionálních funkcí s otvory
Převod opakujících se desetinných čísel na zlomky
Desetinné vyjádření racionálních čísel
Zjištění odmocniny pomocí dlouhého dělení
L.C.M metoda řešení časových a pracovních úloh
Převedení slovních úloh na algebraické výrazy
Převod při dělení 2 mocniny 256 na 17
Převod při dělení 17 mocniny 23 na 16
.
Součet všech trojciferných čísel dělitelných 6
Součet všech trojciferných čísel dělitelných 7
Součet všech trojciferných čísel dělitelných 8
Součet všech trojciferných čísel vytvořených pomocí 1, 3, 4
Součet všech tří čtyřmístných čísel tvořených nenulovými číslicemi
Součet všech tří čtyřmístných čísel tvořených pomocí 0, 1, 2, 3
Součet všech tří čtyřmístných čísel tvořených pomocí 1, 2, 5, 6
.