Zobrazit upozornění pro mobilní zařízení Zobrazit všechny poznámky Skrýt všechny poznámky
Rodíl 4-1 : Definice
Víte, vždycky je trochu děsivé, když věnujeme celý oddíl jen definici něčeho. Laplaceovy transformace (nebo jen transformace) se mohou zdát děsivé, když se jimi začneme zabývat poprvé. Jak ale uvidíme, nejsou tak hrozné, jak se na první pohled může zdát.
Než začneme s definicí Laplaceovy transformace, musíme se zbavit další definice.
Funkce se nazývá kusově spojitá na intervalu, pokud lze interval rozdělit na konečný počet podintervalů, na nichž je funkce spojitá na každém otevřeném podintervalu (tj. podintervalu bez koncových bodů) a má konečnou limitu v koncových bodech každého podintervalu. Níže je náčrtek kusově spojité funkce.
Jinými slovy, kusově spojitá funkce je funkce, která má konečný počet zlomů a nikde se nezvětšuje do nekonečna.
Nyní se podíváme na definici Laplaceovy transformace.
Definice
Předpokládejme, že \(f(t)\) je kusově spojitá funkce. Laplaceovu transformaci \(f(t)\) označíme \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)}). \pravá\}\) a je definována jako
\
Existuje alternativní zápis Laplaceovy transformace. Pro větší pohodlí budeme Laplaceovy transformace často označovat jako,
\
Při tomto alternativním zápisu si všimněte, že transformace je ve skutečnosti funkcí nové proměnné, \(s\), a že všechny \(t\) v procesu integrace vypadnou.
Nyní se integrál v definici transformace nazývá nevhodný integrál a asi by bylo nejlepší si připomenout, jak tyto druhy integrálů fungují, než se skutečně vrhneme na výpočet některých transformací.
Teď, když si pamatujeme, jak se to dělá, pojďme vypočítat některé Laplaceovy transformace. Začneme asi nejjednodušší Laplaceovou transformací.
Tady není třeba dělat nic jiného, než zapojit funkci \(f(t) = 1\) do \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Na tomto místě si všimněte, že to není nic jiného než integrál z předchozího příkladu s \(c = – s\). Proto stačí znovu použít \(\eqref{eq:eq2}\) s příslušnou substitucí. Tím získáme,
\
Nebo, s určitým zjednodušením, máme,
\
Všimněte si, že jsme museli vložit omezení na \(s\), abychom mohli transformaci skutečně vypočítat. Všechny Laplaceovy transformace budou mít omezení na \(s\). V této fázi hry máme tendenci toto omezení ignorovat, ale opravdu bychom nikdy neměli zapomenout, že tam je.
Provedeme další příklad.
Vložíme funkci do definice transformace a provedeme malé zjednodušení.
\
Znovu si všimněte, že můžeme použít \(\eqref{eq:eq2}\) za předpokladu, že \(c = a – s\). Udělejme to tedy.
\
Udělejme ještě jeden příklad, který nespočívá v použití \(\eqref{eq:eq2}\).
Jak tento příklad ukazuje, výpočet Laplaceovy transformace je často chaotický.
Než přejdeme k další části, musíme udělat malou poznámku na okraj. Občas se jako s definicí Laplaceovy transformace setkáte s následujícím textem.
Všimněte si změny dolní meze z nuly na záporné nekonečno. V těchto případech se téměř vždy předpokládá, že funkce \(f(t)\) je ve skutečnosti definována takto,
\
Jinými slovy se předpokládá, že funkce je nulová, pokud t<0. V tomto případě první polovina integrálu odpadne, protože funkce je nulová, a dostaneme se zpět k definici uvedené v . K tomu, aby byla funkce nulová pro t<0, se obvykle používá Heavisideova funkce, kterou se budeme zabývat v pozdější části.
.