Komplexní čísla jsou čísla, která se skládají ze dvou částí – reálného a imaginárního čísla. Komplexní čísla jsou základním stavebním kamenem složitější matematiky, například algebry. Lze je použít v mnoha oblastech reálného života, zejména v elektronice a elektromagnetismu.
Standardní formát komplexních čísel je a + bi, přičemž reálné číslo je na prvním místě a imaginární číslo na posledním. Protože obě části mohou mít hodnotu 0, technicky lze za komplexní číslo považovat jakékoli reálné nebo imaginární číslo. Komplexní neznamená složitý; znamená to, že se oba typy čísel spojí do komplexu, podobně jako obytný komplex – skupina budov spojených dohromady.
Reálná čísla jsou hmatatelné hodnoty, které lze vynést na vodorovnou číselnou přímku, například zlomky, celá čísla nebo jakákoli počitatelná čísla, která vás napadnou. Imaginární čísla jsou abstraktní pojmy, které se používají, když potřebujete odmocninu ze záporného čísla.
Sčítání & násobení komplexních čísel
Protože komplexní číslo je binomické číslo – číselný výraz se dvěma členy – aritmetika se obecně provádí stejným způsobem jako každý binomický výraz, tedy spojením podobných členů a zjednodušením. Například:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Výsledek je 7-2i.
Pro násobení použijete metodu FOIL pro násobení polynomů: vynásobíte První, vynásobíte Vnější, vynásobíte Vnitřní, vynásobíte Poslední a pak sečtete. Například:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
Důvodem, proč se i2 zjednodušuje na (-1), je to, že i je druhá odmocnina z -1.
Dělení komplexních čísel
Dělení je však složitější a vyžaduje použití konjugátů. Komplexní konjugáty jsou dvojice komplexních čísel, které mají různá znaménka, například (a + bi) a (a – bi). Násobení komplexních konjugátů způsobí, že se prostřední člen zruší. Například:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
To se zjednoduší na a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Konečný výsledek je a2 + b2
Při dělení komplexních čísel určete konjugát jmenovatele a čitatele a jmenovatele vynásobte tímto konjugátem. Například
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Konjugát čísla 7 + 4i je 7 – 4i. Vynásobte tedy čitatele a jmenovatele konjugovaným číslem:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Absolutní hodnota komplexních čísel
Absolutní hodnotu čísla považujeme za jeho vzdálenost od nuly na číselné přímce. Protože komplexní čísla obsahují imaginární čísla, nelze je vynášet na přímku reálných čísel. Lze je však měřit od nuly v rovině komplexních čísel, která obsahuje osu x (pro reálné číslo) a osu y (pro imaginární číslo).
Použití komplexních čísel
Komplexní čísla lze použít k řešení kvadratických úloh pro nuly. Kvadratický vzorec řeší ax2 + bx + c = 0 pro hodnoty x. Pokud vzorec poskytuje zápornou odmocninu, lze pro zjednodušení nuly použít komplexní čísla.
Komplexní čísla se používají v elektronice a elektromagnetismu. Jedno komplexní číslo dává dohromady dvě reálné veličiny, což usnadňuje práci s čísly. Například v elektronice je stav prvku obvodu definován napětím (V) a proudem (I). Prvky obvodu mohou mít také kapacitu (c) a indukčnost (L), které popisují tendenci obvodu odolávat změnám V a I. Místo popisu stavu prvku obvodu pomocí V a I jej lze popsat jako z = V + Ii. Zákony elektřiny pak lze vyjádřit pomocí sčítání a násobení komplexních čísel.
Jak již bylo zmíněno, tento postup lze aplikovat i na elektromagnetismus. Místo popisu intenzity elektrického pole a intenzity magnetického pole lze vytvořit komplexní číslo, kde elektrická a magnetická složka jsou reálné a imaginární číslo.
Další čtení:
Kalkulátor komplexních čísel
Matematika je zábava: Komplexní čísla
Skladiště matematiky: Komplexní čísla
Aktuality