1 Úvod
Matematickým modelováním se rozumí použití matematického jazyka k simulaci chování „reálného“ (praktického) systému. Jeho úkolem je poskytnout lepší pochopení a charakterizaci systému. Teorie je užitečná pro vyvození obecných závěrů z jednoduchých modelů a počítače jsou užitečné pro vyvození konkrétních závěrů ze složitých modelů (Bender, 2000 ). V teorii mechanických vibrací jsou matematické modely – označované jako strukturální modely – užitečné pro analýzu dynamického chování modelované konstrukce.
Poptávka po zvýšených a spolehlivých vlastnostech vibrujících konstrukcí z hlediska hmotnosti, pohodlí, bezpečnosti, hlučnosti a trvanlivosti stále roste a současně existuje požadavek na kratší konstrukční cykly, delší provozní životnost, minimalizaci potřeby kontrol a oprav a snížení nákladů. S nástupem výkonných počítačů se stalo provádění numerických simulací levnější jak z hlediska nákladů, tak z hlediska času, než provádění sofistikovaných experimentů. Důsledkem byl značný posun směrem k počítačem podporovanému navrhování a numerickým experimentům, kdy se k simulaci experimentů používají modely konstrukcí a provádějí se přesné a spolehlivé předpovědi budoucího chování konstrukce.
I když vstupujeme do věku virtuálního prototypování (Van Der Auweraer, 2002 ), experimentální zkoušky a identifikace systému stále hrají klíčovou roli, protože pomáhají dynamikům konstrukcí sladit numerické předpovědi s experimentálními šetřeními. Termín „identifikace systému“ se v technické literatuře někdy používá v širším kontextu a může se vztahovat i na získávání informací o chování konstrukce přímo z experimentálních dat, tj. bez nutnosti vyžádat si model (např. identifikace počtu aktivních módů nebo přítomnosti vlastních frekvencí v určitém frekvenčním rozsahu). V tomto článku se identifikace systému týká vývoje (nebo zdokonalení) modelů konstrukce ze vstupních a výstupních měření provedených na skutečné konstrukci pomocí zařízení pro snímání vibrací.
Lineární identifikace systému je disciplína, která se během posledních 30 let značně rozvinula (Ljung, 1987 ; Soderstrom a Stoica, 1989 ). Odhad modálních parametrů – označovaný jako modální analýza – je nepochybně nejoblíbenějším přístupem k provádění identifikace lineárních systémů ve stavební dynamice. Je známo, že model systému má podobu modálních parametrů, konkrétně vlastních frekvencí, tvarů módů a poměrů tlumení. Obliba modální analýzy vyplývá z její velké obecnosti; modální parametry mohou popisovat chování systému pro libovolný typ vstupu a libovolný rozsah vstupu. Pro tento účel byla vyvinuta řada přístupů: Ibrahimova metoda časové oblasti (Ibrahim a Mikulčík, 1973 ), algoritmus realizace vlastního systému (Juang a Pappa, 1985 ), metoda stochastické identifikace podprostoru (Van Overschee a De Moor, 1996 ), polyreferenční metoda nejmenších čtverců v komplexní frekvenční oblasti (Peeters a kol., 2004 ), abychom uvedli alespoň některé z nich. Popis modální analýzy nespadá do rozsahu tohoto článku; další podrobnosti může zájemce nalézt v (Heylen et al., 1997 ; Maia a Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ). Je však důležité poznamenat, že modální identifikace vysoce tlumených konstrukcí nebo složitých průmyslových konstrukcí s vysokou modální hustotou a velkým modálním překryvem je nyní na dosah. O sjednocení teoretického vývoje algoritmů modální identifikace se pokusili (Allemang a Brown, 1998 ; Allemang a Phillips, 2004 ), což je další známkou vyspělosti této oblasti výzkumu.
V tomto přehledovém článku se zaměřujeme na identifikaci konstrukčních systémů za přítomnosti nelinearity. Nelinearita je v přírodě obecná a lineární chování je výjimkou. Ve strukturální dynamice jsou typickými zdroji nelinearit:
–
Geometrická nelinearita vzniká, když konstrukce podstupuje velké posuny a vzniká z potenciální energie. Ilustrací je jednoduché kyvadlo, jehož pohybová rovnice je θ¨+ω02sinθ=0; nelineární člen ω02sinθ představuje geometrickou nelinearitu, protože modeluje velké úhlové pohyby. Velké deformace pružných spojitých těles, jako jsou nosníky, desky a skořepiny, jsou rovněž příčinou geometrické nelinearity (viz např. (Amabili a Paidoussis, 2003 ; Nayfeh a Pai, 2004 )). Příklad zkušebního zařízení s geometrickou nelinearitou je uveden na obr. 1. Konzolový nosník je na svém pravém konci spojen s tenkým krátkým nosníkem, který při velkých výchylkách vykazuje geometrickou nelinearitu.
Obr. 1. Konzolový nosník připojený k tenkému krátkému nosníku (referenční úroveň ECL; akce COST F3): (a) experimentální přípravek; (b) detailní záběr spojení.
–
Nelinearita inercie vyplývá z nelineárních členů obsahujících rychlosti a/nebo zrychlení v pohybových rovnicích a má svůj zdroj v kinetické energii systému (např, členy konvekčního zrychlení v kontinuu a Coriolisova zrychlení v pohybech těles pohybujících se vzhledem k rotujícím rámům).
–
Nelineární chování materiálu lze pozorovat, pokud je nelineární konstitutivní zákon vztahující se k napětím a deformacím. To je častý případ pěn (White a kol., 2000 ; Schultze a kol., 2001 ; Singh a kol., 2003 ) a pružných montážních systémů, jako jsou pryžové izolátory (Richards a Singh, 2001 ).
–
Rozptyl tlumení je v podstatě nelineární a dosud ne zcela modelovaný a pochopený jev. Předpoklad modálního tlumení není nutně nejvhodnějším vyjádřením fyzikální reality a jeho rozšířené používání je třeba přičíst jeho matematické pohodlnosti. Příkladem nelineárního tlumení jsou efekty suchého tření (tělesa v kontaktu, klouzající vůči sobě) a hysteretické tlumení (viz např. Caughey a Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson a Hibbert, 1979 ; Sherif a Abu Omar, 2004 ; Al-Bender a kol., 2004 ). Je důležité poznamenat, že suché tření ovlivňuje dynamiku zejména u pohybů s malou amplitudou, což je v rozporu s tím, co by se dalo očekávat podle běžných představ. Například šroubovité lanové izolátory znázorněné na obr. 2 se vyznačují měknutím (Juntunen, 2003 ) s třením uvnitř lana a změnou geometrie lanové smyčky při zatížení; u tohoto systému se rezonanční frekvence posouvá dolů se zvyšující se úrovní buzení, což je jasný důkaz nelineárního chování.
Obr. 2. Šroubové lanové izolátory (referenční úroveň VTT; akce COST F3): (a) experimentální přípravek; izolátory jsou namontovány mezi základní hmotou elektrodynamické třepačky a zátěžovou hmotou; (b) naměřená obnovovací síla.
–
Nelinearita může vznikat také v důsledku okrajových podmínek (např. volné povrchy v tekutinách, vibrační nárazy v důsledku volných spojů nebo kontaktů s tuhými omezeními, vůle, nedokonale spojená pružná tělesa) nebo určitých vnějších nelineárních sil tělesa (např, magnetoelastické, elektrodynamické nebo hydrodynamické síly). Nelinearita vůlí a vibrací má nehladkou charakteristiku síly a výchylky, jak je znázorněno na obr. 3, a obecně vyžaduje zvláštní zacházení ve srovnání s ostatními typy nelinearit (Babickij a Krupenin, 2001 ).
Obr. 3. Nelinearita vůlí a vibrací má nehladkou charakteristiku síly a výchylky. Nárazový paprsek: (a) experimentální přípravek; (b) změřená obnovovací síla.
V technické literatuře bylo uvedeno mnoho praktických příkladů nelineárního dynamického chování. V automobilovém průmyslu je dráždivým, ale život neohrožujícím příkladem nežádoucího účinku nelinearity pískání brzd, což jsou samobuzené vibrace brzdového rotoru související s kolísáním tření mezi destičkami a rotorem (Rhee et al., 1989 ). Mnoho automobilů má viskoelastické uložení motoru, které vykazuje výrazné nelineární chování: závislost na amplitudě, frekvenci a předpětí. V letadle patří k typickým nelinearitám kromě nelineární interakce kapaliny s konstrukcí také vůle a tření v řídicích plochách a kloubech, nelinearita zpevnění ve spojení motoru s pilotem a efekty nasycení v hydraulických akčních členech. Von Karman (1940) popisuje komerční letadlo, v němž vrtule vyvolávaly subharmonické kmitání řádu 1/2 v křídlech, které vyvolávalo subharmonické kmitání řádu 1/4 v kormidle. Oscilace byly tak silné, že jejich účinky na letadlo byly katastrofální (Nayfeh a Mook, 1979). V mechatronických systémech je zdrojem nelinearit tření v ložiskách a vodicích drahách a také vůle a vůle v kloubech robotů. V pozemním stavitelství je mnoho rozebíratelných konstrukcí, jako jsou tribuny na koncertech a sportovních akcích, náchylných ke značné strukturální nelinearitě v důsledku vůlí ve spojích. To vytváří vůle i tření a může znemožnit jakékoliv lineární modelové simulace chování vyvolaného pohybem davu. Nelinearita může vzniknout také v poškozené konstrukci: únavové trhliny, nýty a šrouby, které se následně otevírají a zavírají při dynamickém zatížení, nebo vnitřní části, které na sebe vzájemně narážejí.
S neustálým zájmem o rozšiřování výkonnostní obálky konstrukcí při stále se zvyšujících rychlostech vzniká potřeba navrhovat lehčí, pružnější, a tudíž nelineárnější konstrukční prvky. Z toho vyplývá, že v inženýrských aplikacích se stále častěji objevuje požadavek na využití nelineárních (nebo dokonce silně nelineárních) konstrukčních prvků. Je proto poněkud paradoxní pozorovat, že ve stavební dynamice je velmi často lineární chování považováno za samozřejmost. Proč tomu tak je? Je třeba si uvědomit, že při dostatečně malých amplitudách pohybů může být lineární teorie pro modelování přesná, i když tomu tak není vždy (např. suché tření). Hlavním důvodem však je, že nelineární teorie dynamických systémů je mnohem méně zavedená než její lineární protějšek. Základní principy, které platí pro lineární systém a které tvoří základ modální analýzy, totiž v přítomnosti nelinearity přestávají platit. Navíc i slabé nelineární systémy mohou vykazovat mimořádně zajímavé a složité jevy, které lineární systémy vykazovat nemohou. Mezi tyto jevy patří skoky, bifurkace, nasycení, subharmonické, superharmonické a vnitřní rezonance, zachycení rezonance, mezní cykly, modální interakce a chaos. Čtenáři, kteří hledají úvod do nelineárních oscilací, mohou konzultovat (Nayfeh a Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Matematičtěji založení čtenáři se mohou obrátit na (Guckenheimer a Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Stručný návod, který zdůrazňuje důležité rozdíly mezi lineární a nelineární dynamikou, je k dispozici v části 2.1 tohoto článku.
To neznamená, že nelineárním systémům nebyla v posledních desetiletích věnována značná pozornost. I když po léta byl jedním ze způsobů studia nelineárních systémů linearizační přístup (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), bylo vynaloženo mnoho úsilí na vytvoření teorií pro zkoumání nelineárních systémů ve strukturální dynamice. Nelineární rozšíření koncepce tvarů módů bylo navrženo v (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) a dále zkoumáno v (Rand, 1974 ; Shaw a Pierre, 1993 ; Vakakis a kol., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Slabě nelineární systémy byly důkladně analyzovány pomocí teorie poruch (Nayfeh a Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian a Cole, 1996 ). Mezi perturbační metody patří například metoda průměrování, Lindstedtova-Poincarého technika a metoda vícenásobných měřítek a jejich cílem je získat asymptoticky rovnoměrné aproximace řešení. V posledním zhruba desetiletí lze pozorovat přechod od slabě nelineárních struktur k silně nelineárním strukturám (silně nelineárními systémy se rozumí systémy, u nichž jsou nelineární členy stejného řádu jako lineární členy) díky rozšíření klasických perturbačních technik (Chan et al., 1996 ; Chen a Cheung, 1996 ) a vývoji nových metodik (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi a Kilani, 2000 ; Babitsky a Krupenin, 2001 ).
V poslední době několik studií navrhlo využít nelinearit místo jejich ignorování nebo vyhýbání se jim, což představuje zajímavou změnu paradigmatu. Například koncept parametrické rezonance je využit k návrhu mikroelektromechanických oscilátorů s filtračními schopnostmi v (Rhoads et al., 2005 ). V pracích (Vakakis a Gendelman, 2001 ; Vakakis a kol., 2004a ; Kerschen a kol., 2005b ) se ukazuje, že podstatná (tj. nelineární) nelinearita vede k nevratným nelineárním jevům přenosu energie mezi subsystémy – tzv. nelineárnímu čerpání energie. V článku (Nichols a kol., 2004 ) se chaotické dotazování a rekonstrukce fázového prostoru používají k posouzení pevnosti šroubového spoje v kompozitním nosníku. V (Epureanu a Hashmi, 2005 ) se využívá geometrického tvaru dynamických atraktorů k posílení malých parametrických změn v systému.
Soustředíme-li se nyní na vývoj (nebo zlepšení) strukturálních modelů z experimentálních měření za přítomnosti nelinearity, tj, identifikaci nelineárního systému, je nutné připustit, že neexistuje obecná metoda analýzy, kterou by bylo možné aplikovat na všechny systémy ve všech případech (viz např. předchozí přehledy (Adams a Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), jako je tomu v případě modální analýzy v lineární dynamice konstrukcí. Kromě toho se mnoho technik, které jsou schopny řešit systémy s nízkou dimenzionalitou, zhroutí, pokud se setkají se systémem s vysokou modální hustotou. Dva důvody tohoto selhání, a to nepoužitelnost různých konceptů lineární teorie a vysoce „individualistická“ povaha nelineárních systémů, jsou diskutovány v oddíle 2.1. Třetím důvodem je, že funkcionál S, který mapuje vstup x(t) na výstup y(t), y(t)=S, není předem znám. Například všudypřítomný Duffingův oscilátor (Duffing, 1918 ), jehož pohybová rovnice je my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), představuje typický příklad polynomiální formy nelinearity obnovující síly, zatímco hysteretické tlumení je příkladem nepolynomiální formy nelinearity. To představuje velkou obtíž ve srovnání s identifikací lineárního systému, pro který je struktura funkce dobře definována.
I když existuje rozdíl mezi způsobem, jakým se identifikace nelineárních systémů prováděla „historicky“, a způsobem, jakým by se prováděla nyní, lze proces identifikace považovat za postup přes tři kroky, a to detekci, charakterizaci a odhad parametrů, jak je uvedeno na obr. 4. Jakmile je nelineární chování detekováno, říká se, že nelineární systém je charakterizován poté, co je určeno umístění, typ a funkční forma všech nelinearit v celém systému. Parametry vybraného modelu se pak odhadují pomocí lineárního fittingu metodou nejmenších čtverců nebo nelineárními optimalizačními algoritmy v závislosti na uvažované metodě.
Obr. 4. Charakteristická charakteristika systému. Proces identifikace.
Nelineární identifikace systému je nedílnou součástí procesu verifikace a validace(V&V). Podle (Roache, 1998 ) se verifikace týká správného řešení rovnic, tj. provedení výpočtů matematicky správným způsobem, zatímco validace se týká řešení správných rovnic, tj. formulace matematického modelu a výběru koeficientů tak, aby byl fyzikální jev, který nás zajímá, popsán s odpovídající úrovní věrnosti. Jak uvádí (Doebling, 2002 ), jedna z definic, která vystihuje mnoho důležitých aspektů validace modelu, je převzata z literatury o simulačních vědách:
Doložení, že model v rámci své oblasti použitelnosti disponuje uspokojivým rozsahem přesnosti odpovídající zamýšlenému použití modelu (Schlesinger et al., 1979 ).
Diskuse o verifikaci a validaci přesahuje rámec tohoto přehledového článku; čtenář si může prostudovat (Roache, 1998 ; Link a Friswell, 2003 ; Babuska a Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) a odkazy v nich.
Rozsah článku: Motivace tohoto přehledového článku je trojí. Za prvé má poskytnout stručné východisko pro výzkumné pracovníky i odborníky z praxe, kteří chtějí posoudit současný stav techniky v oblasti identifikace nelineárních strukturálních modelů. Za druhé je záměrem článku provést přehled několika metod, které byly navrženy v odborné literatuře, a upozornit na některé důvody, které brání aplikaci těchto technik na složité konstrukce. Posledním cílem tohoto článku je identifikovat budoucí potřeby výzkumu, které by pomohly „posunout laťku“ v oblasti identifikace nelineárních systémů.
Téma nelineární dynamiky je nesmírně široké a existuje k němu rozsáhlá literatura. Tento článek je nevyhnutelně zaujatý těmi oblastmi, které autoři znají nejlépe, a to samozřejmě znamená ty oblasti, v nichž autoři a jejich kolegové prováděli výzkum. Proto se nejedná o vyčerpávající přehled minulých a současných přístupů k identifikaci nelineárních dynamických struktur; není zde například snaha shrnout mnohé poznatky pocházející z teorie řízení.
Není zde popsán návrh experimentu (např. výběr zdrojů buzení, počet a umístění snímačů), který podmiňuje úspěšnost identifikačního procesu. Některé informace lze nalézt v (Leontaritis a Billings, 1987 ; Duym a Schoukens, 1995 ; Worden a Tomlinson, 2001 ). Identifikace systému v přítomnosti chaotických vibrací (Moon, 1987 ) rovněž není diskutována.
.